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初中数学二次函数顶点坐标公式的知识点

2019-11-30 20:03

  一、基本简介

  一般地,我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。x为自变量,y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

  主要特点

  “变量”不同于“未知数”,不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数――也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。

  二次函数图像与X轴交点的情况

  当△=b2-4ac>0时,函数图像与x轴有两个交点。

  当△=b2-4ac=0时,函数图像与x轴只有一个交点。

  当△=b2-4ac<0时,函数图像与x轴没有交点。

  二、二次函数图像

  在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。

  轴对称

  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a

  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

  特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。

  a,b同号,对称轴在y轴左侧.

  a,b异号,对称轴在y轴右侧.

  顶点

  二次函数图像有一个顶点P,坐标为P(h,k)即(-b/2a,(4ac-b2/4a).

  当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k。

  h=-b/2a,k=(4ac-b2)/4a。

  开口方向和大小

  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

  |a|越大,则二次函数图像的开口越小。

  决定对称轴位置的因素折叠

  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

  当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号

  当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b 2a="">0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号

  可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

  事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

  决定与y轴交点的因素

  常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

  二次函数图像与y轴交于(0,C)

  注意:顶点坐标为(h,k),与y轴交于(0,C)。

  与x轴交点个数

  a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。

  k=0时,二次函数图像与x轴只有1个交点。

  a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点。

  当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymin=k,在xh范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k

  当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymax=k,在xh范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下,函数的值域是y<k

  当h=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数

  三、二次函数公式汇总:交点式、两根式

  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

  (1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

  (2)顶点式:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数,a≠0)。

  (3)交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)

  (4)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0.

  说明:

  (1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点。

  (2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时,即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。

  数学的学习并不难,重要的是找到学习的兴趣,兴趣是学习最好的老师,是走向成功的阶梯。