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二次函数的概念是什么

时间:2018-01-06 中考备考 我要投稿

  一般地,我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。下面是满分网小编给大家整理的二次函数的概念简介,希望能帮到大家!

  二次函数的概念

  二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

  一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

  一般式:y=ax^2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

  顶点式:y=a(x-h)^2+k或y=a(x+m)^2+k (两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子)

  交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)

  重要概念:(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)

  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

  x是自变量,y是x的二次函数

  x1,x2=[-b±根号下(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式

  求根的方法还有十字相乘法和配方法

  二次函数的主要特点

  “变量”不同于“未知数”,不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。

  二次函数图像

  在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。

  轴对称

  二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a

  对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

  特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。

  a,b同号,对称轴在y轴左侧.

  a,b异号,对称轴在y轴右侧.

  顶点

  二次函数图像有一个顶点P,坐标为P(h,k)即(-b/2a,(4ac-b2/4a).

  当h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k。

  h=-b/2a,k=(4ac-b2)/4a。

  开口方向和大小

  二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

  |a|越大,则二次函数图像的开口越小。

  决定对称轴位置的因素折叠

  一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

  当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号

  当a>0,与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号

  可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

  事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

  决定与y轴交点的因素

  常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

  二次函数图像与y轴交于(0,C)

  注意:顶点坐标为(h,k),与y轴交于(0,C)。

  与x轴交点个数

  a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点。

  k=0时,二次函数图像与x轴只有1个交点。

  a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点。

  当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymin=k,在x<h范围内是减函数,在x>h范围内是增函数(即y随x的变大而变小),二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k

  当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymax=k,在x<h范围内是增函数,在x>h范围内是减函数(即y随x的变大而变大),二次函数图像的开口向下,函数的值域是y<k

  当h=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数

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